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By Forster O.

ISBN-10: 3834803952

ISBN-13: 9783834803955

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D. Satz 3 (Wachstum von Potenzen). Sei b eine positive reelle Zahl. a) Ist b > 1, so gibt es zu jedem K ∈ R ein n ∈ N, so dass bn > K . b) Ist 0 < b < 1, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n ∈ N, so dass bn < ε . § 3 Die Anordnungs-Axiome 28 Beweis. a) Sei x := b − 1. Nach Voraussetzung ist x > 0. Die Bernoullische Ungleichung sagt bn = (1 + x)n 1 + nx . Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein n ∈ N mit nx > K − 1. F¨ur dieses n ist dann bn > K. b) Da b1 := 1/b > 1, gibt es nach Teil a) zu K := 1/ε ein n mit bn1 > 1/ε.

Zur Notation. Wir haben hier in der Formulierung der Axiome den Implikationspfeil benutzt. A ⇒ B bedeutet, dass die Aussage B aus der Aussage A folgt. Die Bezeichnung A ⇔ B bedeutet, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gilt, also die Aussagen A und B logisch a¨ quivalent sind. Schließlich heißt die Bezeichnung A :⇔ B, dass die Aussage A durch die Aussage B definiert wird. Definition (Gr¨oßer- und Kleiner-Relation). F¨ur reelle Zahlen x, y definiert man x>y x 0, y > x, x > y oder x = y , x < y oder x = y .

Es sei N die kleinste Teilmenge von R mit folgenden Eigenschaften: i) 0 ∈ N , ii) x ∈ N ⇒ x + 1 ∈ N . N besteht also genau aus den Zahlen, die sich aus der 0 durch sukzessive Additionen von 1 erhalten lassen. Wir definieren eine Abbildung (NachfolgerFunktion) ν : N −→ N , ν(x) := x + 1 . Um zu sehen, dass die Menge N aus den ‘richtigen’ nat¨urlichen Zahlen besteht, verifizieren wir die sog. Peano-Axiome. h. zwei verschiedene Elemente von N haben auch verschiedene Nachfolger. h. kein Element von N hat 0 als Nachfolger.

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Analysis 1 by Forster O.

by Anthony

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