New PDF release: Analyse, 1. Théorie des ensembles et topologie

By Laurent Schwartz

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Example text

Ce qui prouve donc l'existence. Si a est un ensemble quelconque ayant la propriété de ne posséder aucun élément, il est certainement égal à 0. En effet s'il était distinct de 0, il aurait donc un élément n'appartenant pas à 0 , ce qui est impossible. En particulier cela montre que la définition de 0 est indépendante de X. Cet ensemble est bien unique. 18). Soit Z un ensemble quelconque. Nous voulons prouver l'inclusion 0 C Z. Nous raisonnons par l'absurde(*). Supposons donc qu'il existe un ensemble X tel que 0

9) { (i) I injective {:::::::> ('v'A CE) (f(CeA) C CFl(A)) (ii) I surjective {:::::::> ('v'A CE) CF l(A) C l(CeA) - 2°) B 1-> 1- 1 (B) définit une application de l'ensemble P(F) dans P(E). Cette application conserve toutes les relations C , :) , U , n , C . 11) On a { (i) (ii) 1- 1 (f(A)):) I (f- 1 (B)) A C B pour tout A E P(E) pour tout BE P(F). 11) (ii) est une égalité si et seulement si I est surjective. DÉMONSTRATION: - Presque tout est évident. Nous allons nous contenter de démontrer quelques relations.

Cet ensemble est alors déterminé de façon unique par l'axiome d'extensionnalité. 13) { x: P(x)} comme étant la collection des objets qui rendent vraie cette formule. 13) en considérant les objets qui ont la propriété de ne pas appartenir à eux-mêmes. Prenons en effet la formule x 'I. x. Nous voulons donc définir la collection des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Supposons que cet ensemble existe. On pourrait donc écrire : (3B)('v'x)(x E B +-+ x 'Î. x). Alors en prenant x = B, on aboutit à la formule : Historiquement c'est ce paradoxe qui a conduit à la forme actuelle de l'axiome de sélection.

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by Kevin
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